1 Variables & expressions algébriques
Vocabulaire clé
| Terme | Définition | Exemple |
|---|---|---|
| Variable | Une lettre représentant un nombre inconnu | x, y, n |
| Terme | Un nombre seul, une variable ou leur produit | 5x, −3, 7xy |
| Coefficient | Le nombre qui multiplie une variable | Dans 5x, le coefficient est 5 |
| Termes semblables | Termes ayant les mêmes variables et les mêmes exposants | 3x et −7x sont des termes semblables |
| Expression algébrique | Une combinaison de termes (sans signe =) | 3x + 2y − 5 |
| Équation | Deux expressions reliées par un signe = | 3x + 5 = 14 |
La propriété distributive
Propriété distributive
a(b + c) = ab + ac
✏️
Développer : 3(2x − 5)
= 3 × 2x − 3 × 5 = 6x − 15
Développer : −2(x + 4)
= −2 × x + (−2) × 4 = −2x − 8
= 3 × 2x − 3 × 5 = 6x − 15
Développer : −2(x + 4)
= −2 × x + (−2) × 4 = −2x − 8
2 Simplification des expressions
Réduction des termes semblables
Seuls les termes semblables peuvent être additionnés ou soustraits. On additionne leurs coefficients.
✏️
Simplifier : 5x + 3y − 2x + 7 − y
Termes en x : 5x − 2x = 3x
Termes en y : 3y − y = 2y
Constantes : 7
Résultat : 3x + 2y + 7
Termes en x : 5x − 2x = 3x
Termes en y : 3y − y = 2y
Constantes : 7
Résultat : 3x + 2y + 7
Développement puis simplification
✏️
Simplifier : 2(3x + 1) − 4(x − 2)
Étape 1 — Développer : 6x + 2 − 4x + 8
Étape 2 — Réduire les termes semblables : (6x − 4x) + (2 + 8) = 2x + 10
Étape 1 — Développer : 6x + 2 − 4x + 8
Étape 2 — Réduire les termes semblables : (6x − 4x) + (2 + 8) = 2x + 10
⚠️Lors de la distribution d'un négatif : −4(x − 2) = −4x + 8, et non −4x − 8. La multiplication de deux négatifs donne un positif.
3 Équations du premier degré
🔑Objectif : isoler la variable (l'inconnue) en effectuant la même opération des deux côtés de l'équation.
Étapes de résolution
- Développer les parenthèses
- Regrouper tous les termes avec la variable d'un même côté
- Regrouper toutes les constantes de l'autre côté
- Diviser par le coefficient
- Vérifier la réponse en la substituant dans l'équation de départ
✏️
Résoudre : 3(x − 2) = 2x + 7
Étape 1 : 3x − 6 = 2x + 7
Étape 2 : 3x − 2x = 7 + 6
Étape 3 : x = 13
Vérification : 3(13 − 2) = 3 × 11 = 33 et 2(13) + 7 = 33 ✓
Étape 1 : 3x − 6 = 2x + 7
Étape 2 : 3x − 2x = 7 + 6
Étape 3 : x = 13
Vérification : 3(13 − 2) = 3 × 11 = 33 et 2(13) + 7 = 33 ✓
Équations avec des fractions
Multiplier chaque terme par le PPCM (plus petit commun multiple des dénominateurs) pour éliminer toutes les fractions.
✏️
Résoudre : x/3 + 1 = x/2 − 2
PPCM = 6. Multiplier tous les termes par 6 :
2x + 6 = 3x − 12
6 + 12 = 3x − 2x
x = 18
PPCM = 6. Multiplier tous les termes par 6 :
2x + 6 = 3x − 12
6 + 12 = 3x − 2x
x = 18
4 Inégalités du premier degré
Les inégalités se résolvent comme des équations, à une différence cruciale près.
⚠️Lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, on doit inverser le sens de l'inégalité.
−2x < 8 → x > −4 (signe inversé, car on a divisé par −2)
−2x < 8 → x > −4 (signe inversé, car on a divisé par −2)
Symboles d'inégalité
| Symbole | Signification | Représentation sur la droite numérique |
|---|---|---|
| < | inférieur à (strict) | Cercle ouvert, flèche vers la gauche |
| > | supérieur à (strict) | Cercle ouvert, flèche vers la droite |
| ≤ | inférieur ou égal à | Cercle fermé, flèche vers la gauche |
| ≥ | supérieur ou égal à | Cercle fermé, flèche vers la droite |
✏️
Résoudre : 5 − 3x ≥ 14
−3x ≥ 14 − 5
−3x ≥ 9
x ≤ −3 (sens inversé — on a divisé par −3)
Solution : tout x ≤ −3
−3x ≥ 14 − 5
−3x ≥ 9
x ≤ −3 (sens inversé — on a divisé par −3)
Solution : tout x ≤ −3
5 Stratégie pour les problèmes écrits
💡
Méthode en 5 étapes :
1. Lire attentivement — repérer ce qui est inconnu
2. Définir la variable (soit x = …)
3. Écrire une équation à partir des informations données
4. Résoudre l'équation
5. Répondre à la question par une phrase complète avec les unités
1. Lire attentivement — repérer ce qui est inconnu
2. Définir la variable (soit x = …)
3. Écrire une équation à partir des informations données
4. Résoudre l'équation
5. Répondre à la question par une phrase complète avec les unités
✏️
Un nombre augmenté de 8 est égal à trois fois ce nombre diminué de 4. Trouve ce nombre.
Soit x = le nombre
x + 8 = 3x − 4
8 + 4 = 3x − x
12 = 2x
x = 6
Le nombre est 6.
Soit x = le nombre
x + 8 = 3x − 4
8 + 4 = 3x − x
12 = 2x
x = 6
Le nombre est 6.
6 Erreurs fréquentes à éviter
| Erreur | Ce qu'il faut faire |
|---|---|
| Ne pas distribuer à chaque terme | 3(x + 2) = 3x + 6, et non 3x + 2. Multiplier chaque terme à l'intérieur des parenthèses. |
| Oublier de changer le signe en déplaçant un terme | 3x − 5 = 7 → 3x = 7 + 5 = 12. Le signe change lorsqu'on passe de l'autre côté du signe =. |
| Oublier d'inverser le sens de l'inégalité | Toujours inverser le symbole d'inégalité quand on multiplie ou divise par un nombre négatif. |
| Additionner des termes non semblables | 3x + 2y ≠ 5xy. Seuls les termes semblables (même variable, même exposant) peuvent être combinés. |
| Ne pas vérifier la réponse | Toujours substituer la réponse dans l'équation de départ pour vérifier. |
| Erreur avec négatif × négatif | −3(x − 4) = −3x + 12, et non −3x − 12. Deux négatifs donnent un positif. |