1 Types de nombres
Ensembles de nombres
| Ensemble | Symbole | Description | Exemples |
|---|---|---|---|
| Nombres naturels | ℕ | Nombres de comptage, à partir de 1 | 1, 2, 3, 4 … |
| Nombres entiers | ℤ | Nombres entiers positifs, négatifs et zéro | … −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 … |
| Nombres rationnels | ℚ | Tout nombre exprimable sous forme de fraction p/q (q ≠ 0) | 1/2, −3, 0,75, 2,333… |
| Nombres irrationnels | — | Ne peuvent pas être écrits sous forme de fraction ; décimale infinie non périodique | √2, π, √5 |
🔑Tout entier est un nombre rationnel (ex. : 5 = 5/1). Mais tout rationnel n'est pas nécessairement un entier.
Valeur absolue
La valeur absolue d'un nombre est sa distance par rapport à zéro — toujours positive ou nulle.
Définition
|a| = a si a ≥ 0, et |a| = −a si a < 0
Exemples
|7| = 7 |−7| = 7 |0| = 0
Comparer et ordonner les entiers
- Sur une droite numérique, les nombres augmentent de gauche à droite
- −5 < −2 < 0 < 3 < 7 (même si −5 a une valeur absolue plus grande que −2)
- Un nombre négatif est toujours inférieur à tout nombre positif
2 Priorité des opérations
🔑Ordre : Parenthèses → Exposants → Multiplication et Division (de gauche à droite) → Addition et Soustraction (de gauche à droite)
| Étape | Opération | Exemple |
|---|---|---|
| 1re — P | Parenthèses (en commençant par les plus internes) | (3 + 4) × 2 → 7 × 2 = 14 |
| 2e — E | Exposants | 2³ + 1 → 8 + 1 = 9 |
| 3e — MD | Multiplication et Division (de gauche à droite) | 12 ÷ 4 × 3 → 3 × 3 = 9 |
| 4e — AS | Addition et Soustraction (de gauche à droite) | 10 − 3 + 2 → 7 + 2 = 9 |
Exemple résolu
✏️
Calculer : 3 + (2² × 5 − 1) ÷ 3
Étape 1 — Parenthèses : calculer l'intérieur → 2² × 5 − 1
2² = 4
4 × 5 = 20
20 − 1 = 19
Étape 2 — Division : 19 ÷ 3 ≈ 6,33
Étape 3 — Addition : 3 + 6,33 = 9,33
Étape 1 — Parenthèses : calculer l'intérieur → 2² × 5 − 1
2² = 4
4 × 5 = 20
20 − 1 = 19
Étape 2 — Division : 19 ÷ 3 ≈ 6,33
Étape 3 — Addition : 3 + 6,33 = 9,33
⚠️La division et la multiplication ont la même priorité — toujours travailler de gauche à droite. Même chose pour l'addition et la soustraction.
3 Fractions
Vocabulaire des fractions
Parties d'une fraction
numérateur / dénominateur (haut / bas)
Fractions équivalentes
1/2 = 2/4 = 3/6 (multiplier le haut et le bas par un même nombre)
Forme simplifiée
Diviser par le PGCD : 6/9 ÷ 3/3 = 2/3
Addition et soustraction
Les fractions doivent avoir le même dénominateur (PPCM) avant d'être additionnées ou soustraites.
✏️
1/4 + 2/3
PPCM = 12
1/4 = 3/12 2/3 = 8/12
3/12 + 8/12 = 11/12
PPCM = 12
1/4 = 3/12 2/3 = 8/12
3/12 + 8/12 = 11/12
Multiplication
Multiplier les numérateurs ensemble, puis les dénominateurs. Simplifier avant ou après.
Règle
(a/b) × (c/d) = (a × c) / (b × d)
✏️2/3 × 3/5 = (2 × 3) / (3 × 5) = 6/15 = 2/5
Division
Garder la première fraction, changer ÷ en ×, puis inverser la deuxième fraction (trouver son inverse, ou réciproque).
💡Garder · Changer · Inverser — diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
Règle
(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c)
✏️3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8 = 1 7/8
Nombres mixtes et fractions impropres
Mixte → Impropre
2 3/4 = (2×4 + 3)/4 = 11/4
Impropre → Mixte
11/4 → 11 ÷ 4 = 2 reste 3 → 2 3/4
4 Nombres décimaux et pourcentages
Conversions entre les formes
| De | Vers | Méthode | Exemple |
|---|---|---|---|
| Fraction | Décimal | Diviser le numérateur par le dénominateur | 3/4 = 3 ÷ 4 = 0,75 |
| Décimal | Fraction | Placer sur une puissance de 10, simplifier | 0,6 = 6/10 = 3/5 |
| Fraction | Pourcentage | Multiplier par 100 | 3/4 × 100 = 75 % |
| Pourcentage | Décimal | Diviser par 100 | 35 % ÷ 100 = 0,35 |
| Décimal | Pourcentage | Multiplier par 100 | 0,42 × 100 = 42 % |
Calculs de pourcentage
% d'un nombre
partie = (pourcentage / 100) × total
Quel % est A de B ?
pourcentage = (A / B) × 100
Trouver le total
total = partie / (pourcentage / 100)
✏️
Quel est 30 % de 80 ?
partie = (30/100) × 80 = 0,30 × 80 = 24
18 représente quel pourcentage de 60 ?
pourcentage = (18/60) × 100 = 0,3 × 100 = 30 %
partie = (30/100) × 80 = 0,30 × 80 = 24
18 représente quel pourcentage de 60 ?
pourcentage = (18/60) × 100 = 0,3 × 100 = 30 %
5 Racines carrées
Carrés parfaits
| n | n² | n | n² | n | n² |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 5 | 25 | 9 | 81 |
| 2 | 4 | 6 | 36 | 10 | 100 |
| 3 | 9 | 7 | 49 | 11 | 121 |
| 4 | 16 | 8 | 64 | 12 | 144 |
Approximer les racines carrées non parfaites
🔑Trouver les deux carrés parfaits entre lesquels se situe le nombre, puis estimer.
✏️
Estimer √50
7² = 49 et 8² = 64, donc √50 est entre 7 et 8
50 est très proche de 49, donc √50 ≈ 7,1 (calculatrice : 7,071…)
7² = 49 et 8² = 64, donc √50 est entre 7 et 8
50 est très proche de 49, donc √50 ≈ 7,1 (calculatrice : 7,071…)
Définition
√a = b signifie b² = a (a ≥ 0)
Règle
√(a × b) = √a × √b
Ne pas simplifier
√(a + b) ≠ √a + √b (erreur fréquente !)
6 Erreurs fréquentes à éviter
| Erreur | Ce qu'il faut faire à la place |
|---|---|
| Mauvais ordre des opérations | Toujours : Parenthèses → Exposants → × et ÷ → + et −. Ne jamais additionner avant de multiplier. |
| Additionner les fractions en additionnant numérateurs et dénominateurs séparément | 1/2 + 1/3 ≠ 2/5. Trouver le PPCM d'abord : 3/6 + 2/6 = 5/6. |
| Oublier d'inverser lors de la division de fractions | 3/4 ÷ 2/5 ≠ 3/4 × 2/5. Garder · Changer · Inverser : 3/4 × 5/2. |
| Confondre −a² et (−a)² | −3² = −9 mais (−3)² = +9. La parenthèse change tout. |
| √(a + b) = √a + √b | C'est FAUX. √(9 + 16) = √25 = 5, pas 3 + 4 = 7. |
| Oublier de diviser par 100 lors de la conversion d'un pourcentage | 35 % = 0,35, pas 35. Diviser par 100 pour convertir un pourcentage en nombre décimal. |