Comprendre le Hasard
Ce guide explique le pourquoi derrière chaque règle — pas seulement ce qu'il faut mémoriser, mais comment raisonner sur le hasard. Travaille chaque section dans l'ordre, essaie chaque point de contrôle, puis révèle la réponse pour te corriger.
La probabilité est la branche des mathématiques qui mesure la chance qu'un événement se produise. Avant de calculer quoi que ce soit, il faut maîtriser le vocabulaire de base — chaque mot a un sens très précis.
Dans la vie courante, on dit « c'est probable » ou « c'est rare » — des expressions vagues. En mathématiques, on attribue un nombre entre 0 et 1 à chaque événement. Cela permet de comparer des chances, de prendre des décisions éclairées et de vérifier nos intuitions. Un médecin, un assureur, un météorologue — tous utilisent ce vocabulaire chaque jour.
Le vocabulaire fondamental
| Terme | Définition | Exemple : lancer un dé |
|---|---|---|
| Expérience aléatoire | Un processus dont le résultat ne peut pas être prédit avec certitude | Lancer un dé à 6 faces |
| Résultat (issue) | Un seul résultat possible de l'expérience | Obtenir un 4 |
| Espace échantillonnal (S) | L'ensemble de tous les résultats possibles | S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} |
| Événement (A) | Un ensemble d'un ou plusieurs résultats | A = {nombres pairs} = {2, 4, 6} |
| Résultats favorables | Les résultats qui appartiennent à l'événement A | 3 résultats : 2, 4, 6 |
P(A) = 0 → événement impossible (ex. : obtenir un 7 sur un dé à 6 faces)
P(A) = 1 → événement certain (ex. : obtenir un nombre entre 1 et 6)
0 < P(A) < 1 → événement possible mais incertain
Aucun résultat favorable → P(A) = 0/52 = 0
Tous les 52 résultats sont favorables → P(B) = 52/52 = 1
b) Soit A = « tirer une bille bleue ». Combien de résultats favorables y a-t-il ?
c) Est-il possible d'obtenir une bille jaune ? Quelle est la probabilité de cet événement ?
a) S = {rouge, rouge, rouge, rouge, bleu, bleu, bleu, vert, vert} → 9 résultats au total.
b) Il y a 3 billes bleues, donc 3 résultats favorables à l'événement A.
c) Il n'y a aucune bille jaune dans le sac. L'événement « tirer une bille jaune » est impossible : P = 0.
La probabilité théorique repose sur le raisonnement logique. On suppose que tous les résultats sont équiprobables — c'est-à-dire qu'ils ont tous la même chance de se produire (dé équilibré, pièce symétrique, tirage au sort équitable).
Si un dé est truqué et que le 6 sort trois fois plus souvent que les autres faces, la formule théorique simple ne s'applique plus. La probabilité théorique fonctionne uniquement lorsque chaque résultat a exactement la même chance d'apparaître. Dans un problème, si rien n'est précisé, on suppose toujours que les résultats sont équiprobables.
1. Lister ou dénombrer tous les résultats de S.
2. Identifier les résultats favorables à l'événement A.
3. Appliquer la formule : P(A) = favorables / total.
1 → ni premier ni composé (cas particulier)
2, 3, 5 → nombres premiers
4, 6 → nombres composés
b) Dans un jeu de 52 cartes, quelle est la probabilité de tirer un as ?
c) Exprime ta réponse en b) sous forme de fraction, de décimale et de pourcentage.
a) Multiples de 3 parmi {1,…,8} : {3, 6} → 2 résultats favorables sur 8.
P = 2/8 = 1/4 = 25 %
b) Il y a 4 as dans un jeu de 52 cartes.
P(as) = 4/52 = 1/13
c) 1/13 ≈ 0,0769 ≈ 7,69 %
La probabilité expérimentale est calculée à partir de données réelles obtenues en réalisant une expérience plusieurs fois. Contrairement à la probabilité théorique, elle ne suppose rien — elle observe.
Parfois, on ne peut pas calculer une probabilité théorique facilement. Quelle est la probabilité qu'une punaise atterrisse sur sa pointe ? On ne peut pas le déduire par la logique — il faut lancer la punaise de nombreuses fois et compter. En médecine, en météorologie, en sport, la probabilité expérimentale (basée sur des données passées) est souvent la seule option disponible.
Nombre total d'essais = 80
Différence = 50 % − 47,5 % = 2,5 % → résultat raisonnable pour 80 essais
Face 4 : 12 fois | Face 5 : 10 fois | Face 6 : 10 fois
Total : 9+11+8+12+10+10 = 60 essais
Écart = 33,3 % − 30 % = 3,3 % → acceptable pour 60 essais
b) Si on effectuait 2 000 lancers au lieu de 200, que peut-on dire de la probabilité expérimentale selon la loi des grands nombres ?
c) Un dé est-il équilibré si, sur 120 lancers, on obtient un 6 à 35 reprises ? Justifie.
a) P(pointe) = 74/200 = 37/100 = 37 %
b) Selon la loi des grands nombres, avec plus d'essais, la probabilité expérimentale se stabilise et se rapproche de la vraie probabilité théorique. Le résultat sera plus fiable.
c) P théorique (6) = 1/6 ≈ 16,7 %. Avec 120 lancers, on s'attend à environ 20 fois. Obtenir 35 fois (≈ 29,2 %) est nettement plus élevé — le dé est peut-être truqué, mais il faudrait davantage de lancers pour en être certain.
Le complémentaire d'un événement A, noté Ā (ou A'), représente tous les résultats de S qui n'appartiennent pas à A. En d'autres termes, Ā = « A ne se produit pas ».
Parfois, compter les résultats favorables est difficile, mais compter les résultats défavorables est très facile. La règle P(Ā) = 1 − P(A) permet de changer de perspective. Par exemple, « P(au moins un succès) » peut être compliqué à calculer directement, mais « P(aucun succès) » est souvent simple — et on soustrait de 1.
« Au moins une face » inclut : 1 face, 2 faces, 3 faces. Beaucoup de cas à compter. Le complémentaire = « aucune face » = 3 fois pile.
P(3 fois pile) = 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8
b) Dans un sac de 20 bonbons, 7 sont à la fraise. On tire un bonbon au hasard. Quelle est la probabilité de ne pas tirer un bonbon à la fraise ?
c) Pourquoi est-il souvent plus facile de calculer P(au moins un) en utilisant le complémentaire ?
a) P(ne pas gagner) = 1 − 2/5 = 3/5
b) P(fraise) = 7/20. P(pas fraise) = 1 − 7/20 = 13/20 = 65 %
c) « Au moins un » englobe de nombreux cas (1, 2, 3…). Son complémentaire « aucun » est souvent un seul cas facile à calculer. Il suffit de calculer ce seul cas et de soustraire de 1.
Lorsqu'une expérience comporte plusieurs étapes, l'espace échantillonnal peut être difficile à lister de tête. Deux outils permettent de le construire de façon organisée : l'arbre des probabilités et le tableau de résultats.
Pour deux dés, beaucoup d'élèves pensent spontanément qu'il y a 12 résultats (6 + 6). En réalité, il y en a 36 (6 × 6), car chaque résultat du premier dé peut se combiner avec chacun des 6 résultats du second. Sans un arbre ou un tableau, on risque de manquer des combinaisons et de faire des erreurs de probabilité.
L'arbre des probabilités
Chaque niveau de l'arbre représente une étape de l'expérience. À chaque nœud, on trace autant de branches qu'il y a de résultats possibles. Pour trouver la probabilité d'un chemin, on multiplie les probabilités le long de ce chemin.
Face (1/2) → Carte rouge (1/2) → résultat : (Face, Rouge)
Face (1/2) → Carte noire (1/2) → résultat : (Face, Noire)
Pile (1/2) → Carte rouge (1/2) → résultat : (Pile, Rouge)
Pile (1/2) → Carte noire (1/2) → résultat : (Pile, Noire)
Dé 2 en colonnes : 1, 2, 3, 4, 5, 6
Total des résultats = 6 × 6 = 36
P(A ET B) = P(A) × P(B)
C'est le principe utilisé dans les arbres : on multiplie le long des branches parce que chaque étape est indépendante.
b) À partir de ton arbre, calcule P(obtenir exactement une face).
c) Avec deux dés, P(somme = 12) = ? (Utilise le tableau ou le raisonnement.)
a) Arbre : Face-Face, Face-Pile, Pile-Face, Pile-Pile → 4 résultats au total.
b) Exactement une face : {Face-Pile, Pile-Face} → 2 résultats favorables sur 4.
P(exactement une face) = 2/4 = 1/2 = 50 %
c) La somme 12 n'est obtenue que par (6,6) → 1 paire sur 36.
P(somme = 12) = 1/36 ≈ 2,8 %