Probabilité — Résumé

1 Concepts de base

Terme	Signification	Exemple (lancer un dé)
Expérience aléatoire	Un processus qui produit des résultats aléatoires	Lancer un dé à 6 faces
Résultat (issue)	Un seul résultat possible	Obtenir un 4
Espace échantillonnal (S)	L'ensemble de tous les résultats possibles	S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Événement (A)	Un ensemble d'un ou plusieurs résultats	A = {nombres pairs} = {2, 4, 6}
Résultats favorables	Les résultats qui appartiennent à l'événement	3 résultats : 2, 4, 6

Échelle des probabilités

P(A) = 0 → événement impossible
P(A) = 1 → événement certain
0 < P(A) < 1 → possible mais pas certain
Toutes les probabilités sont comprises entre 0 et 1 (ou 0 % et 100 %)

2 Probabilité théorique

Basée sur le raisonnement et le dénombrement des résultats — suppose que tous les résultats sont équiprobables.

P(A) théorique

P(A) = résultats favorables / total des résultats dans S

✏️

Lancer un dé équilibré — P(obtenir un nombre supérieur à 4) ?
Résultats favorables : {5, 6} → 2 résultats
Total des résultats : {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6
P(A) = 2/6 = 1/3 ≈ 33,3 %

✏️

Un sac contient 3 billes rouges, 5 bleues, 2 vertes. P(bleue) ?
Total = 3 + 5 + 2 = 10 billes
P(bleue) = 5/10 = 1/2 = 50 %

3 Probabilité expérimentale

Basée sur les résultats réels obtenus en réalisant une expérience (essais).

P(A) expérimentale

P(A) = nombre de fois que A s'est produit / nombre total d'essais

✏️

Une pièce est lancée 50 fois. Face apparaît 28 fois. P(face) expérimentale ?
P(face) = 28/50 = 0,56 = 56 %
(Probabilité théorique = 0,5 = 50 %)

Théorique vs expérimentale

	Théorique	Expérimentale
Basée sur	La logique et des résultats équiprobables	Des données réelles issues d'essais
Formule	favorables / total	succès / essais
Exacte ?	Oui (pour les expériences simples et équilibrées)	Variable — dépend du nombre d'essais
S'améliore avec	Un meilleur dénombrement	Plus d'essais (loi des grands nombres)

🔑Loi des grands nombres : Plus le nombre d'essais augmente, plus la probabilité expérimentale se rapproche de la probabilité théorique.

4 Événements complémentaires

Le complémentaire de l'événement A (noté Ā ou A') est l'événement que A ne se pas se produise.

Règle du complémentaire

P(Ā) = 1 − P(A)

Ensemble

P(A) + P(Ā) = 1 (toujours)

✏️

P(pluie demain) = 0,35. P(pas de pluie) ?
P(pas de pluie) = 1 − 0,35 = 0,65

💡Utilise le complémentaire quand il est plus facile de compter ce qu'on ne veut pas, puis de soustraire de 1.

5 Arbres et tableaux de résultats

Arbre des probabilités

Utilisé pour lister tous les résultats d'expériences à plusieurs étapes. Chaque branche représente un résultat. On multiplie le long des branches, on additionne entre les branches.

✏️

Lancer une pièce, puis un dé. P(face et 3) ?
Branche 1 : Face (prob = 1/2) → Branche 2 : obtenir 3 (prob = 1/6)
P(face ET 3) = 1/2 × 1/6 = 1/12
Total des résultats dans l'arbre = 2 × 6 = 12

Tableaux de résultats (grille de résultats)

Utiles pour deux événements simultanés. Les résultats de l'événement 1 sont en lignes, ceux de l'événement 2 en colonnes.

✏️

Lancer deux dés — P(somme = 7) ?
Construire une grille 6 × 6. Paires dont la somme vaut 7 : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 paires
Total des résultats = 36
P(somme = 7) = 6/36 = 1/6

6 Erreurs fréquentes à éviter

Erreur	Ce qu'il faut faire à la place
Probabilité supérieure à 1	La probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Si tu obtiens > 1, tu as fait une erreur.
Ne pas lister tous les résultats	Sois méthodique — utilise un arbre des probabilités ou un tableau pour t'assurer de capturer tous les résultats.
Confondre théorique et expérimentale	Théorique : formule avec des résultats équiprobables. Expérimentale : compter les vrais résultats des essais.
Oublier le complémentaire	P(au moins un) est souvent plus facile à calculer avec 1 − P(aucun).
Additionner quand il faut multiplier	Pour des événements indépendants se produisant ensemble (ET), on multiplie les probabilités. Pour l'un ou l'autre (OU), on additionne (si mutuellement exclusifs).
Oublier des résultats dans l'espace échantillonnal	Compte soigneusement — pour deux dés, le total des résultats est 36, pas 12.