Proportionnalité — Guide d'étude

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Rapports & Taux

Comparer des quantités

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Pourquoi c'est utile : Les rapports et les taux sont partout — les recettes, les vitesses, les taux de change, les statistiques sportives. Les comprendre permet de multiplier ou de diviser correctement des quantités.

Qu'est-ce qu'un rapport ?

Un rapport compare deux quantités du même type avec la même unité. Il exprime « pour chaque … il y a … »

Notation d'un rapport

a : b ou a/b ou « a pour b »

Un rapport n'a pas d'unités — les deux quantités doivent d'abord être dans la même unité.
Un rapport peut être simplifié comme une fraction : 6:9 = 2:3
L'ordre compte : 2:3 est différent de 3:2

Qu'est-ce qu'un taux ?

Un taux compare deux quantités de types différents (unités différentes).

Exemples de taux

60 km/h    (distance par temps)
3,50 $/kg    (prix par masse)
120 battements/min    (nombre par temps)

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Un taux unitaire a un dénominateur de 1 — c'est le taux « par une unité ». Ex. : 2,40 $/kg signifie 2,40 $ par 1 kg.

Rapports équivalents

Des rapports sont équivalents lorsqu'ils se simplifient à la même valeur — comme des fractions équivalentes.

2:3 = 4:6 = 6:9 = 10:15 (tous égaux à 2/3)

Pour trouver un rapport équivalent, multiplie ou divise les deux termes par le même nombre.

Exemple 1 Simplifier un rapport

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Simplifie le rapport 24:36.

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Trouve le PGCD de 24 et 36. PGCD = 12.

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Divise les deux par 12 : 24 ÷ 12 = 2, 36 ÷ 12 = 3.

Rapport simplifié : 2 : 3

Exemple 2 Taux unitaire

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Une voiture parcourt 270 km en 3 heures. Trouve le taux unitaire (vitesse).

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Écris le taux : 270 km / 3 h

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Divise : 270 ÷ 3 = 90

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Ajoute les unités.

Taux unitaire = 90 km/h

Point de contrôle

Une recette nécessite 3 tasses de farine et 2 tasses de sucre. Si tu veux doubler la recette, quelle quantité de chaque ingrédient te faut-il ? Quel est le rapport farine/sucre sous sa forme la plus simple ?

Recette doublée : 6 tasses de farine, 4 tasses de sucre.
Rapport : 6 : 4 = 3 : 2 (identique à l'original — doubler ne change pas le rapport).

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Pourcentages & Variation en pourcentage

Sur 100

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Pourquoi c'est utile : Rabais, taxes, pourboires, taux d'intérêt, résultats de tests — les pourcentages apparaissent constamment dans la vie réelle. La variation en pourcentage indique de combien quelque chose a augmenté ou diminué.

Notions de base sur les pourcentages

Pourcentage signifie « sur 100 ». Le symbole est %.

Conversion entre les formes

Pourcentage → décimal : diviser par 100    (35 % = 0,35)
Décimal → pourcentage : multiplier par 100    (0,72 = 72 %)
Pourcentage → fraction : mettre sur 100, simplifier    (40 % = 40/100 = 2/5)

Calculer un pourcentage d'un nombre

Formule

Partie = (Pourcentage / 100) × Tout

ex. 30 % de 80 = (30/100) × 80 = 24

Variation en pourcentage

Formule

Variation en % = ((Nouveau − Ancien) / Ancien) × 100 %

Positif → augmentation Négatif → diminution

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Divise toujours par la valeur initiale (ancienne), pas par la nouvelle. C'est l'erreur la plus fréquente aux examens !

Trouver la valeur initiale

Si tu connais le résultat après une variation en pourcentage, tu peux remonter en arrière.

Après une augmentation de p %

Valeur initiale = Nouvelle valeur ÷ (1 + p/100)

ex. Prix après une taxe de 20 % = 60 $. Valeur initiale = 60 ÷ 1,20 = 50 $

Exemple 1 Variation en pourcentage

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Un manteau coûte 80 $. Il est mis en solde à 60 $. Quelle est la diminution en pourcentage ?

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Identifie : Ancien = 80, Nouveau = 60.

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Applique la formule : (60 − 80) / 80 × 100 = −20/80 × 100

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= −0,25 × 100 = −25 %

Diminution en pourcentage = 25 %

Exemple 2 Trouver la valeur initiale

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Après une augmentation de 15 %, un téléphone coûte 460 $. Quel était le prix initial ?

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Après une hausse de 15 % : Nouveau = Valeur initiale × 1,15

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Donc : Valeur initiale = 460 ÷ 1,15

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= 400

Prix initial = 400 $

Point de contrôle

Un magasin vend un jeu vidéo 75 $, ce qui inclut une majoration de 25 % par rapport au prix de gros. Quel était le prix de gros ?

Prix de vente = Prix de gros × 1,25
Prix de gros = 75 ÷ 1,25 = 60 $

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Proportionnalité directe

Quand l'une augmente, l'autre aussi

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Pourquoi c'est utile : La proportionnalité directe décrit des situations où deux quantités augmentent ou diminuent toujours ensemble au même rythme — comme le prix et la quantité, ou la distance et le temps à vitesse constante.

Définition

Deux quantités sont en proportionnalité directe si leur rapport est toujours constant.

Proportionnalité directe

y = kx où k = constante de proportionnalité

k = y / x (toujours le même pour toute paire (x, y))

Le graphique est une droite passant par l'origine (0, 0)
Si x double, y double. Si x triple, y triple.
k est la pente de la droite (montée/course)

Comment reconnaître la proportionnalité directe

Proportionnalité directe — OUI

Le rapport y/x est le même pour chaque paire
Le graphique est une droite passant par l'origine
Quand x = 0, y = 0

Pas une proportionnalité directe

Le rapport y/x change
Le graphique ne passe pas par l'origine
Il y a un coût fixe ou une valeur de départ

Résoudre des problèmes de proportionnalité directe

Deux méthodes — utilise celle qui te semble la plus naturelle :

Méthode 1 — Taux unitaire

Trouve k = y/x, puis multiplie.

Méthode 2 — Produit croisé

x₁/y₁ = x₂/y₂
x₁ × y₂ = x₂ × y₁

Exemple 1 Trouver une valeur manquante

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5 pommes coûtent 3,25 $. Combien coûtent 12 pommes ?

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Taux unitaire : 3,25 $ ÷ 5 = 0,65 $ par pomme

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12 pommes : 12 × 0,65 $ = 7,80 $

12 pommes coûtent 7,80 $

Exemple 2 Est-ce une proportionnalité directe ?

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Vérifie si cette table de valeurs montre une proportionnalité directe :

x	y	y/x
2	6	3
5	15	3
8	24	3

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Calcule y/x pour chaque rangée : 6/2 = 3, 15/5 = 3, 24/8 = 3.

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Le rapport est constant → oui, proportionnalité directe. k = 3, donc y = 3x.

Proportionnalité directe : y = 3x

Point de contrôle

Une cycliste parcourt 36 km en 1,5 heure à vitesse constante. Quelle distance parcourra-t-elle en 2,5 heures ? Quelle est la valeur de k (la constante de proportionnalité) ?

Vitesse (k) : 36 ÷ 1,5 = 24 km/h
Distance en 2,5 h : 24 × 2,5 = 60 km

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Proportionnalité inverse

Quand l'une augmente, l'autre diminue

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Pourquoi c'est utile : La vitesse et le temps de trajet, le nombre d'ouvriers et le temps pour finir un travail, les vitesses des engrenages d'un vélo — ce sont toutes des proportionnalités inverses. Quand une quantité monte, l'autre descend.

Définition

Deux quantités sont en proportionnalité inverse si leur produit est toujours constant.

Proportionnalité inverse

x × y = k (produit constant)

y = k / x (quand x augmente, y diminue)

Le graphique est une hyperbole (une courbe qui ne touche jamais les axes)
Si x double, y est divisé par deux. Si x triple, y devient un tiers.

Directe vs inverse — comparaison côte à côte

Proportionnalité directe

y = kx
y/x = constante
Les deux augmentent ensemble
Graphique : droite passant par l'origine

Proportionnalité inverse

y = k/x
x × y = constante
L'une augmente, l'autre diminue
Graphique : hyperbole (courbe)

💡

Test rapide : Multiplie chaque paire x-y. Si les produits sont tous égaux → proportionnalité inverse. Divise y/x pour chaque paire — si égaux → proportionnalité directe.

Exemple 1 Problème de proportionnalité inverse

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4 ouvriers peuvent construire un mur en 6 jours. Combien de jours faudra-t-il à 8 ouvriers ?

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Reconnais : plus d'ouvriers → moins de jours = proportionnalité inverse.

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Trouve k : 4 × 6 = 24 (nombre total de jours-ouvriers).

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Avec 8 ouvriers : jours = 24 ÷ 8 = 3.

8 ouvriers mettent 3 jours

Exemple 2 Identifier à partir d'une table de valeurs

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Cette table de valeurs montre-t-elle une proportionnalité directe ou inverse ?

x	y	x × y	y/x
2	18	36	9
3	12	36	4
6	6	36	1

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x × y est constant (36) → proportionnalité inverse.

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y/x n'est pas constant → pas une proportionnalité directe.

Proportionnalité inverse : y = 36/x

Point de contrôle

Une voiture fait le trajet de Montréal à Québec à 80 km/h et met 3 heures. Si le conducteur roule à 120 km/h, combien de temps durera le trajet ?

k = vitesse × temps = 80 × 3 = 240 km (la distance est constante)
Temps à 120 km/h = 240 ÷ 120 = 2 heures

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Échelle & Figures semblables

Cartes, maquettes et géométrie

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Pourquoi c'est utile : Les architectes dessinent des plans, les cartes représentent des distances réelles, les maquettes reproduisent des objets réels — le tout grâce à des facteurs d'échelle. Les figures semblables ont la même forme mais des tailles différentes.

Facteur d'échelle

Un facteur d'échelle est le rapport d'une mesure sur le dessin/la maquette à la mesure réelle.

Facteur d'échelle

Échelle = Longueur du dessin / Longueur réelle

ex. échelle 1:50 signifie que 1 cm sur papier = 50 cm dans la réalité

Conversion

Longueur réelle = Longueur du dessin ÷ Facteur d'échelle
Longueur du dessin = Longueur réelle × Facteur d'échelle

Figures semblables

Deux figures sont semblables (symbole : ~) si elles ont la même forme mais des tailles différentes.

Les angles correspondants sont égaux
Les côtés correspondants sont proportionnels (même rapport)
Le rapport des côtés correspondants s'appelle le facteur d'échelle

Proportion des côtés

AB/DE = BC/EF = AC/DF = k (pour les triangles semblables ABC ~ DEF)

Échelle des aires et des volumes

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Règle importante : Si le facteur d'échelle (linéaire) est k :
L'aire est multipliée par k² Le volume est multiplié par k³

ex. Si les longueurs doublent (k = 2) : aire × 4, volume × 8

Exemple 1 Échelle d'une carte

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Une carte a une échelle de 1:25 000. Deux villes sont séparées de 8 cm sur la carte. Quelle est la distance réelle ?

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Échelle 1:25 000 signifie que 1 cm = 25 000 cm = 250 m.

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Distance réelle = 8 × 25 000 = 200 000 cm

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Convertis : 200 000 cm = 2 000 m = 2 km

Distance réelle = 2 km

Exemple 2 Triangles semblables

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Triangle ABC ~ Triangle DEF. AB = 6 cm, DE = 9 cm, BC = 8 cm. Trouve EF.

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Facteur d'échelle k = DE/AB = 9/6 = 1,5

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EF = BC × k = 8 × 1,5 = 12

EF = 12 cm

Point de contrôle

Deux rectangles semblables ont un rapport de longueurs de 3:5. Si l'aire du plus petit rectangle est de 27 cm², quelle est l'aire du plus grand ?

Facteur d'échelle linéaire : 3:5, donc k = 5/3
Facteur d'échelle des aires : k² = (5/3)² = 25/9
Aire du plus grand : 27 × (25/9) = 675/9 = 75 cm²