Proportionnalité

1 Rapports & Taux

Rapports

Un rapport compare deux quantités du même type. On l'écrit a:b, a/b, ou « a pour b ».

Une classe compte 12 filles et 18 garçons → rapport = 12:18 = 2:3 (simplifié)
Pour simplifier, divise les deux termes par leur PGCD
L'ordre est important : 2:3 n'est pas la même chose que 3:2

Taux

Un taux compare deux quantités de types différents (unités différentes).

Taux

quantité A par quantité B (ex. km/h, $/kg)

Taux unitaire

taux dont le dénominateur est 1 (ex. 80 km par 1 heure)

✏️Une voiture parcourt 240 km en 3 heures. Taux unitaire = 240 ÷ 3 = 80 km/h

Résoudre des proportions

Une proportion affirme que deux rapports sont égaux : a/b = c/d. On utilise le produit croisé pour résoudre.

Produit croisé

a/b = c/d → a × d = b × c

✏️

Résoudre : 3/4 = x/20
3 × 20 = 4 × x
60 = 4x
x = 15

2 Pourcentages

Les trois types de problèmes de pourcentage

Trouver la partie

partie = (%) / 100 × tout

Trouver le pourcentage

% = (partie / tout) × 100

Trouver le tout

tout = partie / (% / 100)

Augmentation et diminution en pourcentage

Variation en %

% variation = ((nouveau − ancien) / ancien) × 100

Nouvelle valeur (hausse)

nouveau = ancien × (1 + taux) ex. +20% → × 1,20

Nouvelle valeur (baisse)

nouveau = ancien × (1 − taux) ex. −15% → × 0,85

✏️

Un chandail coûte 40 $, rabais de 25 %. Nouveau prix ?
nouveau = 40 × (1 − 0,25) = 40 × 0,75 = 30 $

Le prix est passé de 50 $ à 65 $. Augmentation en pourcentage ?
% = ((65 − 50) / 50) × 100 = (15/50) × 100 = 30 %

💡Les taxes, les pourboires et les rabais sont tous des problèmes d'augmentation ou de diminution en pourcentage. Repère d'abord la valeur initiale.

3 Proportionnalité directe

Deux quantités sont en proportionnalité directe lorsque l'une augmente et que l'autre augmente du même facteur — leur rapport reste constant.

Forme générale

y = kx (k est la constante de proportionnalité)

Trouver k

k = y / x (identique pour chaque point de la droite)

Reconnaître la proportionnalité directe

Le graphique passe par l'origine (0, 0)
Le graphique est une droite
Le rapport y/x est constant pour tous les points
Si x double, y double ; si x est divisé par deux, y est divisé par deux

✏️

5 pommes coûtent 3,50 $. Combien coûtent 8 pommes ?
k = 3,50 / 5 = 0,70 (coût par pomme)
y = 0,70 × 8 = 5,60 $

4 Proportionnalité inverse

Deux quantités sont en proportionnalité inverse lorsque l'une augmente et que l'autre diminue de sorte que leur produit reste constant.

Forme générale

y = k / x (ou xy = k)

Trouver k

k = x × y (identique pour chaque point)

Reconnaître la proportionnalité inverse

Le graphique est une courbe (hyperbole), qui ne passe jamais par l'origine
Quand x augmente, y diminue ; quand x diminue, y augmente
Le produit x × y est constant pour tous les points
Si x double, y est divisé par deux ; si x triple, y est divisé par trois

✏️

4 ouvriers mettent 6 jours pour terminer un travail. Combien de jours faut-il à 8 ouvriers ?
k = 4 × 6 = 24 (nombre total de jours-ouvriers)
y = 24 / 8 = 3 jours

	Proportionnalité directe	Proportionnalité inverse
Formule	y = kx	y = k/x
Constante	y/x = k	xy = k
Graphique	Droite passant par l'origine	Courbe hyperbolique
Si x double	y double	y est divisé par deux

5 Échelle & Figures semblables

Facteurs d'échelle

Facteur d'échelle

k = longueur de l'image / longueur originale

Échelle sur une carte

1:n signifie que 1 cm sur la carte = n cm dans la réalité

Figures semblables

Deux figures sont semblables si elles ont la même forme (angles égaux) mais peuvent avoir des tailles différentes. Les côtés correspondants sont proportionnels.

✏️

Deux triangles semblables : côtés 3, 4, 5 et 6, ?, ?
Facteur d'échelle = 6/3 = 2
Côtés manquants : 4 × 2 = 8 et 5 × 2 = 10

🔑Dans les figures semblables : les angles sont égaux (ils ne changent pas d'échelle). Seules les longueurs des côtés varient selon le facteur d'échelle.

Lecture de carte

✏️

Échelle de la carte 1:50 000. Distance sur la carte = 3,2 cm. Distance réelle ?
Distance réelle = 3,2 × 50 000 = 160 000 cm = 1,6 km

6 Erreurs fréquentes à éviter

Erreur	Ce qu'il faut faire à la place
Confondre proportionnalité directe et inverse	Demande-toi : « Si l'une augmente, l'autre augmente-t-elle (directe) ou diminue-t-elle (inverse) ? »
Faire le produit croisé de façon incorrecte	Dans a/b = c/d, multiplie en diagonale : ad = bc, et non ac = bd.
Oublier de convertir les unités d'échelle de la carte	Échelle 1:50 000 → multiplie par 50 000 pour obtenir la distance réelle dans les mêmes unités.
Appliquer une augmentation de pourcentage deux fois	Si le prix est 100 $ et augmente de 20 % : nouveau = 100 × 1,20 = 120 $. Utilise toujours la formule.
Croire que les angles changent dans les figures semblables	FAUX — les angles restent égaux. Seules les longueurs des côtés varient selon le facteur d'échelle.
Confondre y/x = k et xy = k	Proportionnalité directe : y/x = k. Proportionnalité inverse : xy = k. Vérifie en traçant le graphique.