Comprendre
l'Algèbre
Ce guide explique le pourquoi derrière chaque règle — pas seulement quoi mémoriser, mais comment raisonner avec des variables et des équations. Travaille chaque section dans l'ordre, essaie chaque point de contrôle, puis vérifie ta réponse.
L'algèbre est le langage des mathématiques : elle permet de décrire des situations inconnues avec des lettres. Une variable est simplement une lettre qui représente un nombre qu'on ne connaît pas encore.
Imagine que tu ne sais pas combien d'élèves sont dans ta classe. Au lieu d'attendre la réponse, tu peux dire « soit n le nombre d'élèves » et construire toute une équation autour de n. Les variables permettent de résoudre des milliers de problèmes différents avec une seule formule générale.
Vocabulaire essentiel
| Terme | Définition | Exemple |
|---|---|---|
| Variable | Lettre représentant un nombre inconnu | x, y, n |
| Terme | Un nombre seul, une variable ou leur produit | 5x, −3, 7xy |
| Coefficient | Le nombre qui multiplie une variable | Dans 5x, le coefficient est 5 |
| Termes semblables | Termes ayant les mêmes variables et les mêmes exposants | 3x et −7x sont semblables |
| Expression algébrique | Combinaison de termes sans signe égal | 3x + 2y − 5 |
| Équation | Deux expressions reliées par un signe = | 3x + 5 = 14 |
La propriété distributive
La propriété distributive permet de développer une expression entre parenthèses en multipliant chaque terme par le facteur extérieur.
Le signe de −5 change parce que −3 × (−5) = +15.
b) Les termes 4x² et 4x sont-ils des termes semblables ? Explique pourquoi.
c) Développe : 5(2x − 3)
a) Le coefficient de y est −7. (Le signe négatif fait partie du coefficient.)
b) Non. 4x² et 4x ne sont pas semblables car leurs exposants diffèrent : x² a l'exposant 2, x a l'exposant 1. Des termes semblables doivent avoir exactement les mêmes variables et les mêmes exposants.
c) 5(2x − 3) = 5 × 2x − 5 × 3 = 10x − 15
Simplifier une expression signifie la réécrire de la façon la plus courte possible, sans changer sa valeur. La clé est la réduction des termes semblables : on additionne les coefficients des termes qui ont les mêmes variables.
Pense à 3x + 2y. Si x = des pommes et y = des oranges, 3 pommes + 2 oranges ne donnent pas 5 « pommes-oranges ». Ce sont des objets différents ! En algèbre, x et y représentent des quantités différentes — on ne peut pas les mélanger.
Termes en y : 3y et −y
Constantes : 7
3y − y = 2y (rappel : −y = −1y)
Constante : 7
−4(x − 2) = −4x + 8 (attention au signe !)
−2(3x − 1) = −6x + 2
Constantes : 12 + 2 − 7 = 7
Résultat : 2x + 7
b) Simplifier : 3(2x − 4) + 5(x + 1)
c) Simplifier : −(3x − 2) + 4(x + 3)
a) Termes en x : 4x + 2x − x = 5x. Constantes : −3 + 7 = 4. Résultat : 5x + 4
b) 3(2x − 4) = 6x − 12. 5(x + 1) = 5x + 5. Ensemble : 6x − 12 + 5x + 5 = 11x − 7
c) −(3x − 2) = −3x + 2 (distribuer le −1). 4(x + 3) = 4x + 12. Ensemble : −3x + 2 + 4x + 12 = x + 14
Une équation du premier degré contient une variable à l'exposant 1 (ex. : 3x + 5 = 14). La résoudre signifie trouver la valeur de la variable qui rend l'équation vraie.
Imagine une balance en équilibre parfait. Le signe = est le pivot. Pour que la balance reste en équilibre, toute opération effectuée d'un côté doit être effectuée de l'autre côté. C'est le principe fondamental de la résolution d'équations : on fait la même chose des deux côtés pour isoler l'inconnue.
Étapes de résolution
- Étape 1 : Développer les parenthèses
- Étape 2 : Regrouper tous les termes avec la variable d'un même côté
- Étape 3 : Regrouper toutes les constantes de l'autre côté
- Étape 4 : Diviser par le coefficient de la variable
- Étape 5 : Vérifier en substituant dans l'équation de départ
2x = 13 − 5
2x = 8
2x + 6 = 3x − 12
18 = x
b) Résoudre : 4(x + 1) = 3(x − 2) + 10
c) Résoudre : x/4 − 2 = x/6 + 1
a) 5x − 2x = 9 + 3 → 3x = 12 → x = 4. Vérification : 5(4) − 3 = 17 = 2(4) + 9 ✓
b) 4x + 4 = 3x − 6 + 10 → 4x + 4 = 3x + 4 → x = 0. Vérification : 4(1) = 4 et 3(−2)+10 = 4. x = 0
c) PPCM(4, 6) = 12. Multiplier par 12 : 3x − 24 = 2x + 12 → x = 36. Vérification : 36/4 − 2 = 7 et 36/6 + 1 = 7 ✓ x = 36
Une inégalité ressemble à une équation mais au lieu de « est égal à », elle dit « est plus grand que » ou « est plus petit que ». On la résout de la même façon qu'une équation, sauf pour une règle fondamentale.
Exemple : −2x < 8
On divise par −2 et on inverse le signe : x > −4
Sur la droite numérique, 3 < 5. Si on multiplie par −1 : −3 et −5. Or −3 > −5 sur la droite (−3 est plus à droite que −5). Le sens de l'inégalité s'est inversé. C'est pourquoi la règle existe — elle reflète ce qui se passe réellement sur la droite numérique.
Symboles d'inégalité
| Symbole | Se lit | Droite numérique |
|---|---|---|
| < | inférieur à | Cercle ouvert, flèche vers la gauche |
| > | supérieur à | Cercle ouvert, flèche vers la droite |
| ≤ | inférieur ou égal à | Cercle fermé, flèche vers la gauche |
| ≥ | supérieur ou égal à | Cercle fermé, flèche vers la droite |
3x > 8 + 4
3x > 12
−3x ≥ 14 − 5
−3x ≥ 9
x ≤ −3
On divise par −3 (négatif) : le signe ≥ devient ≤.
2x + 2 < 5x − 1
3 < 3x
b) Résoudre : −5x > 20
c) Résoudre : 3(x − 1) ≥ 2x + 4
a) 4x ≤ 12 → x ≤ 3. Cercle fermé en 3, flèche vers la gauche. x ≤ 3
b) Diviser par −5 (négatif) → inverser le sens : x < −4. x < −4
c) 3x − 3 ≥ 2x + 4 → 3x − 2x ≥ 4 + 3 → x ≥ 7
Les problèmes écrits (ou situations-problèmes) sont la partie la plus utile de l'algèbre : ils permettent de modéliser des situations de la vie réelle. La clé est de traduire les mots en symboles mathématiques.
« augmenté de », « de plus que », « la somme de » → addition (+)
« diminué de », « de moins que », « la différence » → soustraction (−)
« le triple de », « le produit de », « fois » → multiplication (×)
« partagé en », « divisé par », « le quotient » → division (÷)
« est », « est égal à », « donne » → signe égal (=)
1. Lire attentivement — repérer ce qui est inconnu
2. Définir la variable (soit x = …)
3. Écrire l'équation à partir des informations données
4. Résoudre l'équation
5. Répondre à la question par une phrase complète avec les unités
« trois fois ce nombre diminué de 4 » → 3x − 4
Équation : x + 8 = 3x − 4
12 = 2x
x = 6
Le nombre est 6.
Alors x + 5 = l'âge de Sofia
2x + 5 = 27
x = 11 (Marc a 11 ans)
x + 5 = 16 (Sofia a 16 ans)
Marc a 11 ans et Sofia a 16 ans.
Alors 2x + 3 = la longueur
54 = 2((2x + 3) + x)
54 = 6x + 6
48 = 6x
x = 8
Longueur = 2(8) + 3 = 19 cm
Vérification : 2(19 + 8) = 2(27) = 54 ✓
b) Un billet d'adulte coûte 3 $ de plus qu'un billet d'enfant. Deux billets d'adultes et trois billets d'enfants coûtent 39 $ en tout. Quel est le prix de chaque billet ?
c) Léa a le triple de l'argent de son frère Théo. Ensemble, ils ont 96 $. Combien chacun a-t-il ?
a) Soit x le nombre. 2x − 7 = 15 → 2x = 22 → x = 11. Le nombre est 11.
b) Soit x = prix enfant. Adulte = x + 3. Équation : 2(x + 3) + 3x = 39 → 2x + 6 + 3x = 39 → 5x = 33 → x = 6,60 $. Billet enfant : 6,60 $. Billet adulte : 9,60 $. Vérification : 2(9,60) + 3(6,60) = 19,20 + 19,80 = 39 $ ✓
c) Soit x = argent de Théo. Léa a 3x. Équation : x + 3x = 96 → 4x = 96 → x = 24. Théo : 24 $, Léa : 72 $. Vérification : 24 + 72 = 96 $ ✓