Comprendre les
Nombres
Ce guide explique le pourquoi de chaque règle — pas seulement ce qu'il faut mémoriser, mais comment raisonner sur les nombres. Parcours chaque section dans l'ordre, réponds à chaque point de contrôle, puis révèle la réponse pour te vérifier.
Tu comptes depuis ta toute petite enfance — 1, 2, 3… Ce sont les nombres naturels. Mais au fil du temps, les mathématiciens en ont eu besoin de plus. Il leur a fallu le zéro, puis les négatifs, puis les fractions, puis quelque chose pour décrire √2. Chaque nouveau type de nombre a été inventé pour résoudre un problème que l'ensemble précédent ne pouvait pas résoudre.
Imagine que tu as 5 $ dans ton compte de banque et que tu dépenses 8 $. Tu dois 3 $. Les nombres naturels ne peuvent pas exprimer le fait de « devoir » — il faut des nombres inférieurs à zéro. La température sous zéro, les étages sous le sol ou les dettes sont des situations réelles qui nécessitent des nombres entiers.
On ne peut pas partager 7 pommes également entre 3 personnes en utilisant des nombres entiers. On a besoin de 7/3. Toute mesure qui se situe entre deux nombres entiers — un demi-litre, trois quarts de tour — nécessite des nombres rationnels.
Les familles de nombres
| Nom | Symbole | Contient | Exemples |
|---|---|---|---|
| Nombres naturels | ℕ | Nombres de comptage à partir de 1 | 1, 2, 3, 100 |
| Nombres entiers | ℤ | Tous les entiers (positifs, négatifs, zéro) | −5, 0, 3, −100 |
| Nombres rationnels | ℚ | Tout nombre de la forme p/q où q ≠ 0 | 1/2, −3, 0,75, 2,333… |
| Nombres irrationnels | — | Ne peuvent pas être écrits sous forme de fraction — les décimales sont infinies et non périodiques | √2, π, √5 |
Valeur absolue
La valeur absolue d'un nombre est sa distance par rapport à zéro sur la droite numérique. Une distance est toujours positive (ou nulle).
7/2 = 3,5 → rationnel (pas entier)
√9 = 3 → nombre naturel (aussi entier, aussi rationnel)
π = 3,14159… → irrationnel
0 → entier (aussi rationnel : 0/1)
√3 = 1,732… (non périodique, infini) → irrationnel
b) Donne un exemple de nombre rationnel qui N'EST PAS un entier.
c) Lequel est le plus grand : |−8| ou |5| ? Pourquoi ?
a) Oui. Tout entier n peut être écrit sous la forme n/1, ce qui correspond à la définition d'un nombre rationnel (p/q avec q ≠ 0).
b) N'importe quel exemple convient : 1/2, 0,75, −3/4, etc. — toute fraction qui ne se simplifie pas en un nombre entier.
c) |−8| = 8 et |5| = 5. Donc |−8| > |5|. Même si −8 < 5, sa distance par rapport à zéro est plus grande.
Si chacun calculait 3 + 4 × 2 dans l'ordre qu'il voulait, on obtiendrait des réponses différentes. Quelqu'un obtient 14 (en additionnant d'abord), un autre obtient 11 (en multipliant d'abord). Les mathématiques ont besoin d'une convention commune — c'est la priorité des opérations.
Pense à 3 + 4 × 2 comme « 3 plus quatre paires de 2 ». La multiplication regroupe les éléments — c'est un lien plus fort. On assemble les groupes d'abord, puis on les combine. C'est pourquoi la multiplication (et la division) a priorité sur l'addition et la soustraction.
12 ÷ 4 × 3 : faire 12 ÷ 4 = 3 d'abord, puis 3 × 3 = 9. PAS 12 ÷ 12 = 1.
−3² signifie −(3²) = −9. L'exposant s'applique uniquement à 3, pas au signe négatif.
(−3)² signifie (−3) × (−3) = +9. La parenthèse fait du négatif une partie de la base.
a) 20 − 4 × 3 + 1
b) (6 + 2)² ÷ 4 − 3
c) −2² + (−2)²
a) 20 − 4 × 3 + 1
= 20 − 12 + 1 (multiplier d'abord)
= 8 + 1 = 9
b) (6 + 2)² ÷ 4 − 3
= 8² ÷ 4 − 3 = 64 ÷ 4 − 3 = 16 − 3 = 13
c) −2² + (−2)² = −4 + 4 = 0
(−2² = −(4) = −4 ; mais (−2)² = +4)
Les règles sur les fractions semblent arbitraires jusqu'à ce qu'on comprenne pourquoi elles fonctionnent. Construisons à partir de zéro.
1/4 + 1/3 : on additionne « un quart » et « un tiers ». Ce sont des morceaux de tailles différentes. Avant de les compter ensemble, il faut tout découper en morceaux de même taille. Convertir en douzièmes (PPCM = 12) donne 3/12 + 4/12 = 7/12 — les morceaux ont maintenant la même taille et on peut simplement additionner les numérateurs.
« Combien de demis y a-t-il dans 3 ? » est la même chose que 3 ÷ 1/2. Pense-y concrètement : 3 mètres ÷ des longueurs d'un demi-mètre = 6 longueurs. Donc 3 ÷ 1/2 = 6 = 3 × 2. Diviser par 1/2, c'est la même chose que multiplier par 2 (son inverse). C'est pourquoi Garder · Changer · Inverser fonctionne — cela transforme la division en multiplication.
3/4 = 9/12 (× 3/3)
(Indice pour c : convertis d'abord le nombre mixte en fraction impropre.)
a) PPCM = 20 : 12/20 − 5/20 = 7/20
b) 2/3 × 9/10 = 18/30 = 3/5 (simplifier : 2×9 / 3×10 → 1×3 / 1×5)
c) 1 1/2 = 3/2 → 3/2 ÷ 3/4 = 3/2 × 4/3 = 12/6 = 2
Tout problème de pourcentage est l'un de trois types. Une fois que tu sais identifier lequel tu as devant toi, le reste est mécanique.
Après 20 % de rabais, on paie 80 % du prix d'origine. Donc 64 $ = 80 % du prix d'origine.
b) Le prix d'un téléphone a augmenté de 500 $ à 575 $. Quelle est la hausse en pourcentage ?
c) 12 % d'un nombre est 30. Quel est ce nombre ?
a) % = (45 / 180) × 100 = 0,25 × 100 = 25 %
b) % de variation = ((575 − 500) / 500) × 100 = (75/500) × 100 = 15 %
c) total = 30 ÷ (12/100) = 30 ÷ 0,12 = 250
La racine carrée d'un nombre pose la question : quel nombre, multiplié par lui-même, donne ceci ? √25 = 5 parce que 5 × 5 = 25. Géométriquement, √A est la longueur du côté d'un carré d'aire A.
Aucune fraction p/q, élevée au carré, ne donne exactement 2. Essaie : (1/1)² = 1, (3/2)² = 2,25, (7/5)² = 1,96 — on peut s'approcher mais jamais être exact. La décimale 1,41421356… se prolonge indéfiniment sans se répéter. Cela a choqué les mathématiciens de la Grèce antique qui croyaient que tous les nombres étaient rationnels.
Trouver les deux carrés parfaits entre lesquels se situe n. La racine carrée se trouve entre leurs racines. Utilise ensuite la position dans l'intervalle pour affiner l'estimation.
Exemple : √50. Puisque 7² = 49 et 8² = 64, on sait que √50 est entre 7 et 8. 50 est très proche de 49, donc √50 ≈ 7,1.
Donc √110 est entre 10 et 11
Fraction du chemin : 10/21 ≈ 0,48
√110 ≈ 10 + 0,48 ≈ 10,5
b) Estimer √30 à une décimale près (sans calculatrice)
c) Vrai ou faux : √(16 + 9) = √16 + √9. Justifie ta réponse.
a) 48 = 16 × 3 → √48 = √16 × √3 = 4√3
b) 5² = 25, 6² = 36. 30 est à 5/11 du chemin entre 25 et 36. √30 ≈ 5,5. (Calculatrice : 5,477…)
c) Faux. √(16 + 9) = √25 = 5. Mais √16 + √9 = 4 + 3 = 7. Ces valeurs sont différentes. On ne peut pas distribuer une racine carrée sur une addition.